Une recherche historique du XVIIIe siècle au XVIIe siècle
Cette redéfinition de l’idée de progrès implique une recherche qui ne limite pas sa perspective au seul XVIIIe siècle mais qui considère aussi le XVIIe siècle. En effet, deux grandes figures du progrès sont distinguées par les mathématiciens du XVIIIe siècle, le philosophe Bacon et le géomètre Descartes. Ils doivent cette reconnaissance aux deux procédés dont ils fondent l’usage : l’application de la géométrie cartésienne et la classification des domaines de connaissances de la philosophie baconienne.
En développant une étude de la réception de l’application cartésienne dans les géométries de Monge, la mathématique sociale de Condorcet et la physique mathématique de d’Alembert, j’ai pu déterminer les différences entre leur usage des procédures d’application et de classification. Elles apparaissent lorsque sont considérées la nature des domaines de connaissances en jeu dans une application et la nature des rapports ainsi établis entre les domaines.
Condorcet, le plus audacieux, n’hésite pas à élaborer une classification des connaissances en 1793 qui permet une application directe des mathématiques - du calcul des probabilités - aux arts sociaux et politiques. Condorcet souligne la différence de son œuvre mathématique et de son engagement public avec ceux de D’Alembert, qui selon lui « a le danger de trop resserrer le champ où l’esprit humain peut s’exercer » et « de livrer au doute, à l’incertitude, et par conséquent à des principes vagues et arbitraires, des questions importantes au bonheur de l’humanité ».[1]
Dans son « Discours préliminaire » en 1751, comme huit ans plus tôt dans son Traité de Dynamique, D’Alembert souligne les dangers des applications directes de l’algèbre à la physique, « très éloignées de ce qui est réellement dans la Nature » et préconise une procédure d’application indirecte qui ne met en jeu que certains objets de physique et les domaines mathématiques de la mécanique, la géométrie et de l’algèbre.
Si Monge, au contraire de Condorcet, semble suivre les principes méthodologiques de d’Alembert en élaborant des applications entre domaines mathématiques, les différences entre d’Alembert et Monge apparaissent lorsqu’est posée la question de la nature des rapports entre ces domaines.
D’Alembert établit un rapport hiérarchique non seulement entre les sciences mais aussi entre domaines mathématiques. D’Alembert est très clair à ce sujet : tous les domaines mathématiques n’atteignent pas le même degré de certitude. Ce degré correspond au degré de simplicité de leur objet et de leur principe. Ainsi la mécanique est moins simple que la géométrie, et ces deux dernières moins simples que l’algèbre.
Cela contraint à suivre un processus spécifique d’applications successives de la mécanique à la physique, de la géométrie à la mécanique pour enfin atteindre l’application de l’analyse à la géométrie. Cette procédure limite les mouvements réciproques, comme celui d’application de la géométrie à l’analyse. Ainsi l’inspiration technique de Monge et son intuition géométrique mises au service de l’analyse éclaire son originalité en comparaison avec l’ardent défenseur de la supériorité de l’analyse.
Jusqu’à la fin de sa vie, Monge aime à rappeler que ce n’est pas du côté de son Analyse appliquée à la géométrie mais bien du côté de sa géométrie pratique qu’il trouve« la clarté du raisonnement, la simplicité de la démonstration et la facilité de l’application des théorèmes.»[2]
Notes
[1] CONDORCET [1847], « Éloge de d’Alembert », Œuvres de Condorcet, Paris, Firmin-Didot, t. II, pp. 51-110.
[2] OLIVIER Th. [1843] (1852), Cours de géométrie descriptive, première partie, 2ème éd., Paris, Carilian-Goeury et V. Dalmont, Libraires des corps des points et chaussées et des mines, p. IV.
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